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Trinôme du second degré

DéfinitionPolynôme du second degré

Un trinôme du second degré est une expression de la forme

f(x) = ax^2 + bx + c

où

a, b, c

sont des réels avec

a \neq 0

.

Sa courbe représentative est une parabole de sommet

S

et d'axe de symétrie

x = -\dfrac{b}{2a}

.

PropriétéFormes du trinôme

Forme développée :

f(x) = ax^2 + bx + c

Forme canonique :

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta

où

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

et

\beta = f(\alpha) = c - \dfrac{b^2}{4a}

.

Forme factorisée (quand elle existe) :

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

où

x_1, x_2

sont les racines.

Les trois formes décrivent la même fonction ; on passe de l'une à l'autre selon les besoins.

MéthodeObtenir la forme canonique

On complète le carré : factoriser

a

devant

x^2+\frac{b}{a}x

, puis ajouter et soustraire

\left(\frac{b}{2a}\right)^2

.

Exemple :

f(x) = 2x^2 - 4x + 1

.

= 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1

.

Sommet :

S(1, -1)

, axe de symétrie :

x = 1

.

Remarque

Le signe de $a$ détermine le sens de la parabole : $a > 0$ → "sourit" (minimum), $a < 0$ → "pleure" (maximum).

Discriminant et résolution

DéfinitionDiscriminant

Le discriminant du trinôme

ax^2 + bx + c

est le réel

\Delta = b^2 - 4ac

.

ThéorèmeSolutions selon le signe de $\\Delta$

Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

.

Si $\Delta = 0$ : une racine double

x_0 = -\dfrac{b}{2a}

(le sommet touche l'axe des abscisses).

Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle (la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses).

ExempleDémonstration — formule des solutions (à connaître)

On part de $ax^2 + bx + c = 0$ , avec $a \neq 0$ . On divise par $a$ : $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ .

On écrit la forme canonique : $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{\Delta}{4a^2}$ .

Si $\Delta > 0$ , on prend la racine carrée des deux membres :

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|} = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}

(les deux signes de

a

s'annulent en

\pm

).

D'où $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . $\square$

MéthodeRésoudre une équation du second degré

1. Ramener à la forme

ax^2 + bx + c = 0

.

2. Calculer

\Delta = b^2 - 4ac

.

3. Conclure selon le signe de

\Delta

.

Exemple :

3x^2 - 5x + 2 = 0

.

\Delta = 25 - 24 = 1 > 0

→ deux racines :

x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}

et

x_2 = \frac{5+1}{6} = 1

.

Forme factorisée :

3(x - \frac{2}{3})(x - 1) = (3x-2)(x-1)

.

PropriétéRelations racines — coefficients (formules de Viète)

Si

x_1

et

x_2

sont les deux racines de

ax^2 + bx + c

:

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

et

x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}

.

Signe du trinôme

ThéorèmeSigne de $f(x) = ax^2 + bx + c$ selon $\\Delta$

Si $\Delta < 0$ :

f(x)

est du signe de

a

pour tout

x

(la parabole est tout entière d'un seul côté de l'axe).

Si $\Delta = 0$ :

f(x) \geq 0

si

a > 0

(nul seulement en

x_0

) ;

f(x) \leq 0

si

a < 0

.

Si $\Delta > 0$ :

f(x)

est du signe de

a

à l'extérieur de

]x_1, x_2[

et du signe de

-a

à l'intérieur.

ExempleTableau de signes (cas $\\Delta > 0$, $a > 0$)

Soit $f(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ (racines $x_1=1$ , $x_2=2$ , $a=1>0$ ).

| $x$ | $-\infty$ | ... | $1$ | ... | $2$ | ... | $+\infty$ |

|---|---|---|---|---|---|---|---|

| $(x-1)$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ |

| $(x-2)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |

| $f(x)$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |

Donc $f(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [1, 2]$ et $f(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty, 1] \cup [2, +\infty[$ .

MéthodeRésoudre une inéquation du second degré

1. Ramener à

f(x) > 0

(ou

< 0

).

2. Calculer

\Delta

et les racines (si elles existent).

3. Utiliser le tableau de signes :

f(x)

est du signe de

a

à l'extérieur des racines.

Exemple : Résoudre

2x^2 - x - 1 > 0

.

\Delta = 1 + 8 = 9 > 0

→ racines

x_1 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}

,

x_2 = \frac{1+3}{4} = 1

.

Comme

a = 2 > 0

,

f(x) > 0

à l'extérieur : solution

x \in \left]-\infty, -\frac{1}{2}\right[ \cup ]1, +\infty[

.

Variations et sommet

PropriétéTableau de variations du trinôme

Le trinôme

f(x) = ax^2 + bx + c

admet un extremum en

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

:

Si $a > 0$ : minimum

f(\alpha) = \beta

—

f

décroît sur

]-\infty, \alpha]

et croît sur

[\alpha, +\infty[

.

Si $a < 0$ : maximum

f(\alpha) = \beta

—

f

croît sur

]-\infty, \alpha]

et décroît sur

[\alpha, +\infty[

.

MéthodeOptimisation par le trinôme

Beaucoup de problèmes de maximisation/minimisation se ramènent à un trinôme.

Exemple : Un rectangle a un périmètre de

20

cm. Trouver les dimensions qui maximisent l'aire.

Soit

x

la largeur. Alors la longueur vaut

10 - x

, et l'aire

A(x) = x(10-x) = -x^2 + 10x

.

Sommet :

\alpha = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5

,

A(5) = 25

.

L'aire est maximale pour un carré de côté

5

cm, avec

A_{\max} = 25

cm².

Lien avec la dérivée (anticipation)

Remarque

En Séquence 3, nous verrons que la dérivée d'une fonction permet de trouver ses extrema.

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ , la dérivée est $f'(x) = 2ax + b$ . Elle s'annule en $x = -\frac{b}{2a} = \alpha$ : on retrouve bien le sommet de la parabole.

La dérivée sera l'outil général d'étude des fonctions ; le second degré en est le premier et plus parlant exemple.

Second degré — équations et signe

A –Trinôme du second degré

B –Discriminant et résolution

C –Signe du trinôme

D –Variations et sommet

E –Lien avec la dérivée (anticipation)

Trinôme du second degré

Discriminant et résolution

Signe du trinôme

Variations et sommet

Lien avec la dérivée (anticipation)