← Cours et exercicesCours
Se connecter →
Terminale SpéSéquence 1 — Cours

Suites et raisonnement par récurrence

Rappels et compléments sur les suites

DéfinitionRappels de Première
Suite arithmétique de raison rr : un=u0+nru_n = u_0 + nr. Somme : ∑k=0n−1uk=n u0+r n(n−1)2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} u_k = n\,u_0 + r\,\frac{n(n-1)}{2}.
Suite géométrique de raison q≠0q \neq 0 : un=u0⋅qnu_n = u_0 \cdot q^n. Somme : ∑k=0n−1qk=1−qn1−q\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1-q^n}{1-q} pour q≠1q\neq 1.
Suite définie par récurrence : un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) — chaque terme dépend du précédent.
DéfinitionSuite récurrente d'ordre 2
Une suite est d'ordre 22 si chaque terme dépend des deux précédents :
un+2=f(un+1, un)u_{n+2} = f(u_{n+1},\ u_n)
On se donne deux conditions initiales u0u_0 et u1u_1, et la suite est alors entièrement déterminée.

ExempleSuite de Fibonacci

Définie par u0=0u_0 = 0, u1=1u_1 = 1, un+2=un+1+unu_{n+2} = u_{n+1} + u_n.

Premiers termes : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots

Cette suite modélise la croissance de populations (lapins de Fibonacci), les spirales de coquillages, les phyllotaxies de fleurs.

Remarque

Pour une suite récurrente d'ordre 22, il faut deux conditions initiales pour que la suite soit bien définie. Avec une seule condition, il existe une infinité de suites possibles.

Monotonie, bornitude et convergence

DéfinitionMonotonie
(un)(u_n) est croissante si un+1≥unu_{n+1} \geq u_n pour tout nn.
(un)(u_n) est décroissante si un+1≤unu_{n+1} \leq u_n pour tout nn.
**Méthodes pour étudier la monotonie :
— Signe de un+1−unu_{n+1} - u_n (toujours applicable).
— Si les termes sont strictement positifs : signe de un+1un−1\dfrac{u_{n+1}}{u_n} - 1 (ou de un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} comparé à 11).
DéfinitionBornitude
(un)(u_n) est majorée s'il existe M∈RM \in \mathbb{R} tel que un≤Mu_n \leq M pour tout nn.
(un)(u_n) est minorée s'il existe m∈Rm \in \mathbb{R} tel que un≥mu_n \geq m pour tout nn.
(un)(u_n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
ThéorèmeConvergence des suites monotones bornées (admis)
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Corollaire : si (un)(u_n) est croissante et non majorée, alors un→+∞u_n \to +\infty.
MéthodeTrouver la limite d'une suite récurrente convergente
Si (un)(u_n) converge vers ℓ\ell et vérifie un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), alors en passant à la limite :
ℓ=f(ℓ)\ell = f(\ell)
On résout cette équation (point fixe) pour trouver les candidats à la limite.
Exemple : si un+1=un+22u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{2} et (un)(u_n) converge vers ℓ\ell, alors ℓ=ℓ+22\ell = \dfrac{\ell+2}{2}, soit ℓ=2\ell = 2.
AttentionPiège fréquent
La méthode du point fixe donne les candidats à la limite. Elle ne prouve pas la convergence !
Il faut d'abord établir que la suite converge (par exemple en montrant qu'elle est monotone et bornée), puis chercher la limite.

Raisonnement par récurrence

ThéorèmeRaisonnement par récurrence
Soit P(n)P(n) une propriété dépendant de l'entier nn. Pour démontrer que P(n)P(n) est vraie pour tout n≥n0n \geq n_0, il suffit de :
1. Initialisation : vérifier que P(n0)P(n_0) est vraie.
2. Hérédité : supposer que P(n)P(n) est vraie pour un certain n≥n0n \geq n_0 (hypothèse de récurrence), puis démontrer que P(n+1)P(n+1) est vraie.
3. Conclusion : par le raisonnement par récurrence, P(n)P(n) est vraie pour tout n≥n0n \geq n_0. □\square

Remarque

La récurrence joue deux rôles distincts en mathématiques :

— Outil de construction : une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) se construit terme à terme — chaque terme est littéralement découvert à partir du précédent. On explore, on conjecture, on comprend le comportement.

— Outil de démonstration : une fois un résultat conjecturé (par exemple une formule explicite), on le prouve par récurrence. Dans ce cas, la formule doit être connue avant de rédiger la preuve.

Les deux usages sont complémentaires et présents dans ce chapitre.

ExempleDémonstration — Somme des entiers (à connaître)

Montrons que pour tout n≥1n \geq 1 : ∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.

Initialisation (n=1n=1) : ∑k=11k=1=1×22\displaystyle\sum_{k=1}^1 k = 1 = \frac{1 \times 2}{2}. ✓

Hérédité : supposons la propriété vraie au rang nn (H.R.). Montrons-la au rang n+1n+1.

∑k=1n+1k=(∑k=1nk)+(n+1)=H.R.n(n+1)2+(n+1)=(n+1)(n2+1)=(n+1)(n+2)2\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k = \left(\sum_{k=1}^n k\right) + (n+1) \underset{\text{H.R.}}{=} \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = (n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}.

C'est bien la formule au rang n+1n+1. □\square

ExempleDémonstration — Inégalité de Bernoulli (à connaître)

Pour tout a>−1a > -1 et tout n∈Nn \in \mathbb{N} : (1+a)n≥1+na(1+a)^n \geq 1 + na.

Initialisation (n=0n=0) : (1+a)0=1≥1+0⋅a=1(1+a)^0 = 1 \geq 1 + 0 \cdot a = 1. ✓

Hérédité : supposons (1+a)n≥1+na(1+a)^n \geq 1+na. Comme 1+a>01+a > 0 :

(1+a)n+1=(1+a)n⋅(1+a)≥(1+na)(1+a)=1+a+na+na2=1+(n+1)a+na2(1+a)^{n+1} = (1+a)^n \cdot (1+a) \geq (1+na)(1+a) = 1 + a + na + na^2 = 1+(n+1)a + na^2.

Or na2≥0na^2 \geq 0, donc (1+a)n+1≥1+(n+1)a(1+a)^{n+1} \geq 1+(n+1)a. □\square

MéthodeRédaction d'une récurrence
Toujours écrire les trois étapes explicitement, même pour un résultat simple.
Dans l'hérédité, citer l'hypothèse de récurrence au moment où on l'utilise (H.R. ou entre guillemets).
La conclusion doit mentionner « par le principe de récurrence ».

Récurrence appliquée aux suites

PropriétéDémontrer qu'une suite est positive par récurrence
Si u0≥0u_0 \geq 0 et f(x)≥0f(x) \geq 0 pour tout x≥0x \geq 0, alors une démonstration par récurrence montre que un≥0u_n \geq 0 pour tout nn.
Schéma type : initialisation en n=0n=0, puis si un≥0u_n \geq 0, montrer un+1=f(un)≥0u_{n+1} = f(u_n) \geq 0.

ExempleSuite bornée et croissante — méthode complète

Soit (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1 et un+1=un+2u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}.

Étape 1 — Bornitude : montrons par récurrence que 0≤un≤20 \leq u_n \leq 2 pour tout nn.

Init : u0=1∈[0,2]u_0=1 \in [0,2]. ✓ Hérédité : si 0≤un≤20\leq u_n\leq 2, alors un+1=un+2∈[2, 2]⊂[0,2]u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\in[\sqrt{2},\,2]\subset[0,2]. ✓

Étape 2 — Monotonie : un+12−un2=(un+2)−un2=−(un2−un−2)=−(un−2)(un+1)u_{n+1}^2 - u_n^2 = (u_n+2) - u_n^2 = -(u_n^2-u_n-2) = -(u_n-2)(u_n+1).

Puisque 0≤un≤20\leq u_n\leq 2, on a un−2≤0u_n-2\leq 0 et un+1≥0u_n+1\geq 0, donc un+12−un2≥0u_{n+1}^2 - u_n^2 \geq 0, soit un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.

Étape 3 — Convergence : (un)(u_n) est croissante et majorée par 22 → elle converge vers un réel ℓ\ell.

Étape 4 — Limite : ℓ=ℓ+2\ell = \sqrt{\ell+2}, soit ℓ2=ℓ+2\ell^2 = \ell+2, soit ℓ2−ℓ−2=0\ell^2-\ell-2=0.

Solutions : ℓ=2\ell=2 ou ℓ=−1\ell=-1. Comme un≥0u_n\geq 0, on conclut ℓ=2\ell = 2.

← Retour au portailS’entraîner sur ce chapitre →

Lycée Français International d'Agadir · H. Moustaine · Mathématiques Terminale Spé

Séquence 1 — Suites et récurrence

Mathématiques — LFIA Agadir